「数据结构与算法」跳表（Skip List）

数据结构
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跳表（Skip List）是一个动态数据结构（链表加多级索引），可以支持快速地插入、删除、查找操作的有序链表。
跳表在原有的有序链表上面增加了多级索引，通过索引来实现快速查找。

1. 跳表的演化

跳表的原始链表是一个有序单链表，如果要想在其中查找某个数据，只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是 O(n)。

从链表中每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。如下图。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。

加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。
跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。查找一个结点需要遍历的结点数量又减少了。
这就是跳表的思想，用“空间换时间”，通过给链表建立索引，提高了查找的效率。

当元素数量较多时，建立多级索引，索引提高的效率比较大，近似于二分查找。

2. 跳表查找的时间复杂度

跳表查找元素的过程是从最高级索引开始，一层一层遍历最后下沉到原始链表。所以，时间复杂度 = 索引的高度 * 每层索引遍历元素的个数。

如果每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，第三级索引的结点个数大约就是n/8，依次类推，那第k级索引结点的个数就是n/(2^k)。

最高级索引一般有2个元素，即：最高级索引h满足2=n/(2^h)，从而求得h=log2n-1，如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log2n。

按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历3个结点，根据时间复杂度 = 索引的高度 * 每层索引遍历元素的个数，即跳表中查找一个元素的时间复杂度为O(3*log2n)，省略常数即：O(logn)。

3. 跳表的空间复杂度

跳表通过建立索引，来提高查找元素的效率，就是典型的“空间换时间”的思想，所以在空间上做了一些牺牲。

前面提到，如果每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是n/2，第二级索引的结点个数大约就是n/4，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下2个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

1
n/2, n/4, n/8, ..., 8, 4, 2

这几级索引的结点总和就是n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含n个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近n个结点的存储空间。

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，第一级索引需要大约n/3个结点，第二级索引需要大约n/9个结点，以此类推，每往上一级，索引结点个数都除以3。通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是n/3+n/9+n/27+...+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

在软件工程中，对象数据所占的空间要远大于指针，指针大小可以忽略。

4. 跳表的插入和删除

跳表这个动态数据结构，插入、删除操作的时间复杂度也是O(logn)。

4.1 插入数据

跳表的插入首先查找某个数据应该插入的位置（时间复杂度是O(logn)），当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。

需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡。
当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。
我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第K级索引中。
随机函数简化跳跃链表建立层级索引的复杂度，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

如下图所示，插入数据6到跳表中，随机函数生成K=2:

4.2 删除数据

跳表删除数据时，要把索引中对应节点也要删掉。
删除元素的过程跟查找元素的过程类似，只不过在查找的路径上如果发现了要删除的元素x，则执行删除操作。

如下图所示，如果要删除元素9，需要把原始链表中的9和第一级索引的9都删除掉。

5. 总结

跳表是查询效率近似于二分查找的有序链表；
每个元素插入时随机生成它的索引层级level；
最底层原始链表包含所有的元素；
如果一个元素出现在x层索引，那么它肯定出现在x以下的索引层中；
跳表查询、插入、删除的时间复杂度为O(logn)，与平衡二叉树接近；